一元三次方程的一般形式： ax³+bx²+cx+d=0(a,b,c,d∈ℝ,a≠0) 我们先解特殊形式的一元三次方程，最后把一般形式转 化成特殊形式的方程。 特殊形式：x³+px+q=0 令x=u+v，并且3uv+p=0，可得v=-—，代入： (u+v)³+p(u+v)+q=0 u³+v³+(3uv+p)(u+v)+q=0 u³+v³+q=0 u³+(-—)³+q=0 → u³+q-—=0 将两边同时乘上u³，得到u³的一元二次方程： 1×(u³)²+qu³+(-—)=0 根据求根公式，可以求出u³的两个根，分别是： u³=-—± —+— 在讨论后面怎么做之前，我们先来看一下欧拉公式： e =cosx+isinx 再解一个方程：x³=1 很多人都会直接说出答案是1，只有1个根，如果有3个 根的话会让很多强迫症感到舒服，因为x=1有1个根， x²=1有两个根，所以x³=1会不会有3个根呢？ 首先，解这个方程需要把x写成极坐标形式： r(cosθ+isinθ)，代入可得： r³(cosθ+isinθ)³=1 套用欧拉公式和指数的运算法则可以得到： r³[cos(3θ)+isin(3θ)]

=1 r自然等于1，代入：cos(3θ)+isin(3θ)=1 实部对实部,虚部对虚部,得到3θ=2πn,其中n为整数。 θ就等于—n，因为x=cos(θ)+isin(θ)，所以解出x有 3个根，分别是1、———、———，令ω=——— 回到正事上，刚才在第一页最后一行写到： u³=-—± —+— 根据刚才算出来的ω，可以解出来： u_1=³-—± —+— u_2=ω×u_1 u_3=ω²×u_1 知道u，解出v就很简单了（v=-p/3u） 即v_1=³-—∓ —+—（用平方差算一下） v_2=ω²×v_1 v_3=ω×v_1 由于x=u+v（不知道你还记不记得，知道加法交换律吗？ u+v就是一则加法算式，两边一个±一个∓，其实可以 让u只取整，v取负），解出 x_1=u_1+v_1,x_2=u_2+v_2,x_3=u_3+v_3 作为方程的三个根。