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【本期内容将会介绍的应用例】

- 面向指定坐标

- 求圆上一点坐标&正多边形绘制

【本期内容主要涉及的数学知识】（打*为可略过的内容；为理解方便，本文不引入弧度制。）

- 锐角三角函数

- * 任意角

- * 任意角的三角函数

- * 诱导公式

- 反三角函数

【本期涉及数学内容的主要来源】（打*为可略过内容的来源）

- 义务教育教科书数学九年级下册（人教版、浙教版）

- * 普通高中教科书数学必修第一册（人教A版）

【阅读本期内容可能需要的数学知识】（打*为知道更好，但不知道也没关系的内容）

- 直角三角形相关概念

- 直角坐标系相关概念

- * 对称相关概念

- * 相似三角形相关概念

- * 圆和正多边形相关概念

- * 函数、反函数和单调性相关概念

感谢雪松、小影、XRJ抽出时间帮助审核这篇教程。

感谢麻酱为这篇教程提出的建议。

如有错漏、表述不精等，欢迎指正！

正文

小狗今天遇到了一个经典的问题：怎么让 Scratch 里的角色面向指定的坐标？

它本来以为这只是一个简单的问题，于是随手在 Scratch 的积木块里翻了翻，试图找到一个能帮到它的积木。

可是它只找到了这些：

这下可坏了。小狗找不到一个合适的积木块来完成这个任务！

有人建议小狗利用第二个积木块：新建一个角色，移到需要面向的位置。可是小狗有好多好多的克隆体，它们需要面向好多好多的坐标，小狗根本就不可能有那么多的角色，分给每个克隆体。

这时候从名字开始就很擅长数学的 ∠1 提出了建议：利用第一个积木块！

小狗很疑惑，我只知道坐标，怎么能求出角度呢？

∠1说，利用一个小工具就可以。

如果还是没有猜出它是什么，那么我们换一个问法。

要问 Scratch 里看起来最高级的积木块是什么，可能不少人会回答这个——

对了，就是我们今天的主角，三角函数。

这个名字似乎令人望而生畏，但也许并没有你想象中那么难，不论年龄，都可以学习；况且因其运用广泛，是我们深入学习 Scratch 必不可少的部分。不过，或许因认为太基础，或许怕看起来太难，小木屋已有的许多教程都心照不宣地跳过了这一部分。那么今天，我希望填补这个空缺。

在学习 Scratch 中三角函数的运用之前，我们需要先了解——

数学中的三角函数

三角函数

锐角三角函数

首先来讲讲，在初中阶段，我们会学习的三角函数定义：

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A是Rt△ABC的一个锐角，∠A=α。

利用相似三角形可以证明，∠A确定时，∠A对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是确定的。

（另外，还有余切、正割、余割等，即cot、sec、csc，它们分别可以被表示为正切、余弦、正弦的倒数。本文不加以介绍，可以自行了解。）

锐角三角函数的值都是正实数，并且。

但是小狗在 Scratch 中操作的时候发现，钝角也有三角函数值。

甚至更大的角也有！

连输入负数都行！

这是为什么？

这就不得不讲到一个新的概念，任意角。

（如果不感兴趣，可以略过以下内容直接跳至“反三角函数”部分）

* 任意角

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。如图，射线OP从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成角α。射线OA，OP就分别称为角α的始边和终边。当角α确定时，终边OP的位置、射线OP与圆O的交点位置P都确定了。

我们通常在直角坐标系内讨论角。为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

规定一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。零角的始边与终边重合。如果α是零角，那么α=0°。

这样，我们就把角的概念推广到了任意角。

将射线绕端点按不同方向旋转相同的量形成的两个角称为互为相反角。角α的相反角记为-α。这样，角的减法就可以转化为角的加法。

通俗地说，一条顶点为原点、方向和x轴相同的射线，转动一定角度，逆时针转是正角，顺时针转是负角，不转是零角。

这条射线多转一圈后又回到原来的位置，所以一般地，我们有：

任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

而单位圆，是圆心位于原点、半径为单位长度（半径为1）的圆。

那么现在，我们来讲讲高中阶段三角函数的定义——

* 三角函数的概念

如图，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x,y)。射线OA从x轴的非负半轴开始绕点O逆时针方向旋转角α，终止位置为OP。

通过上面这些内容，~~小狗被新概念绕得满头雾水~~，小狗明白了：知道了要面向的坐标，就是知道了角的终边；即以角色的坐标为端点，两点确定这条射线。可是小狗还有一个疑惑：我想要知道的是终边旋转的角度，可是我怎么知道它是逆时针转的，还是顺时针转了大半圈，还是逆时针转了一圈多呢？

这时候，就要说到——

* 诱导公式

利用三角函数的周期性，我们可以将较大的角的三角函数，转化为较小的角的。

诱导公式一

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等。

通俗地说，每次终边转过一圈，P点就回到原先的坐标。那么转k圈（k是整数），也是一样的。

由此得到一组公式

公式一

其中k是整数。

这样，我们就可以把绝对值大于360°的角的三角函数，转化为小于360°的了。

诱导公式二

函数，转化为小于180°的了。

诱导公式三

具体效果可参考：[每周一水]任意角和诱导公式三四

这样，我们就可以把任意角的三角函数，转化为锐角三角函数了。

任意角的三角函数转化为锐角三角函数

一般可以按照下面的步骤进行：

任意负角的三角函数用公式一或公式三转化为任意正角的三角函数；

任意正角的三角函数用公式一转化为 0°~180°的角的三角函数；

0°~180°的角的三角函数用公式二或四转化为锐角的三角函数。

另外，还有可以实现正弦函数和余弦函数相互转化的公式五和公式六——

诱导公式五

（或者，因为我们已经将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，如果你认为这难以理解，可以将其理解为：直角三角形中一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦；反过来，直角三角形中一个锐角的余弦等于另一个锐角的正弦。）

诱导公式六

类似地，可得

（著名的口诀“奇变偶不变，符号看象限”也与此有关。限于篇幅，此处不展开，感兴趣可以自行了解。）

反三角函数

既然知道了自己的坐标和要面向的坐标，小狗现在明白了，自己相当于知道了需要的角度的正切值。但是，小狗又有了新的问题：多个角可以有一样的三角函数值；那么，反过来，一个三角函数值也可以对应多个角！

可是小狗多次操作发现，Scratch 里的反三角函数模块，计算出的asin、acos、atan，都只有一个返回值。难道是这个模块错了吗？

原来数学家也早就想到了这个问题。

三角函数的反函数本身是多值的，分别记为Arcsin、Arccos、Arctan。但我们上面已经说过，三角函数具有周期性，所以数学家们直接取了一段单调区间，把反三角函数定义为了一个单值函数，记为arcsin（asin）、arccos（acos）、arctan（atan）。

反正弦函数的输入范围为[-1,1]区间，输出范围为[-90°,90°]区间；反余弦函数的输入范围为[-1,1]区间，输出范围为[0°,180°]区间；反正切函数的输入为任意实数，输出范围为[0°,90°]区间。

现在，我们已经初步了解了三角函数和反三角函数，接下来就可以开始讲讲——

三角函数在 Scratch 中的简单运用

面向指定坐标

首先，我们来解决小狗在开头提出的问题吧：

已知角色当前的坐标和要面向的坐标，如何求出（在 Scratch 中）角色应面向的角度？

设角色当前位置点A坐标为(x1,y1)，要面向坐标(x2,y2)

因为 Scratch 的角度表示是从y轴非负半轴开始、顺时针旋转为正，所以我们这样绘制：

过点B作BC⊥直线x=x1于点C，则得到直角三角形ABC。设∠BAC=α。

我们发现，当B在A上方时，α表示的为从y轴非负半轴开始顺时针旋转的角；

在 Scratch 中的程序为：

利用布尔类型返回值为1和0的特性，可以等价地简化为：

这样，小狗的问题就解决了。

具体效果可参考：[每周一水]面向坐标

圆上一点坐标 & 正多边形绘制

∠1帮小狗解决了大困难，于是小狗得寸进尺趁热打铁，问了另一个困扰它已久的问题：

如何在 Scratch 中绘制给定边数、中心和中心到顶点距离的正多边形？

在 Scratch 中，我们可以用类似于以下程序绘制出多边形：

（[每周一水]正多边形绘制器）

但其缺点也很明显，即无法指定确定中心坐标等。

为解决这个问题，首先我们要知道，任何一个正多边形都有外接圆（与多边形各顶点都相交的圆），其圆心称为正多边形的中心。正多边形中心到正多边形顶点的距离就是外接圆的半径。

以正五边形为例，我们将正多边形的中心与每个顶点相连。

很显然，只要知道每个顶点的坐标，我们就能绘制出需要的正多边形。

这样，我们就将绘制正多边形的问题转化为了：

已知半径和角度，如何求圆上一点坐标？

如果你没有阅读带“*”的部分，那么我们需要分类讨论。

需要注意的是，若以圆心O为原点建立新的平面直角坐标系，则此处α是以这个新坐标系x轴非负半轴为始边的任意角。

事实上，借助诱导公式，你会发现前文分类讨论的式子化简合并后和这个式子是一致的（那是当然）。

Scratch 程序如下：

具体效果可参考：[每周一水]求圆上一点坐标

这样，绘制正多边形的问题也就迎刃而解了。

具体效果可参考：[每周一水]正多边形绘制

（这个参考程序和上面给出的积木块有一个小差异，因此运行效果也有微妙的不同哦！有兴趣也许可以试着找找看？）

通过∠1的帮助，小狗终于解决了它的问题，也得以打破畏难情绪，窥见三角函数相关内容的冰山一角，真是可喜可贺！

那么，以上就是本期的全部内容了。

习题

~~小狗发现∠1偷懒没告诉它诱导公式六的证明，请你帮帮它吧！~~

试着通过今天学习的知识，做出[每周一水]立竿见影的效果……？

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